C++ 浅谈平行四边形不等式优化DP

前端之家收集整理的这篇文章主要介绍了C++ 浅谈平行四边形不等式优化DP前端之家小编觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。

@H_4040@

前言

@H404_0@在一些DP中,三重的循环容易造成超时,那么又什么方法来优化呢?

@H_4040@当然有,有一种叫做平行四边形不等式的玩意优化DP

@H
4040@

平行四边形不等式

@H
4040@如果有两个区间满足 f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],那么这个东东就是平行四边形不等式

@H
4040@可以这样理解,交叉或包含的两个区间,a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间(bc包含于ad)

@H
404_0@

@H_4040@还有就是决策单调性 

@H
4040@

@H
4040@     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'

@H
4040@

平行四边形不等式的性质

@H
4040@这玩意儿有什么性质,对边互相平行?

@H
4040@非也,这玩意儿有两个性质

@H
4040@定义一个 动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] ) 

@H
4040@一. 如果w满足决策单调性 ​​​​且满足平行四边形不等式那么 f 也满足四边形不等式

@H
4040@二. 当定理一的条件满足时,让d[i,j]取最小值的k为K[i,j],则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j] 

@H
4040@

@H
4040@三. w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1] 

@H4040@(后两条我也不懂)

@H
4040@

DP优化

@H
4040@有一动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] ) ,满足平行四边形不等式,那么其决策性s[ i ] [ j ] 满足

@H
404_0@s[ i - 1 ][ j ] <= s[ i ][ j ] <= s[ i ][ j  + 1 ],这样就可以约束 k (只用从s[ i - 1 ][ j ] 循环到s[ i ][ j  + 1 ] ,因为其最优决策性必定在这当中),减少 k 的循环次数,从而减少一重循环。

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