整个引擎代码在github上，地址为：https://github.com/sun2043430/RegularExpression_Engine.git

nullable,firstpos,lastpos,followpos函数介绍

接着上两篇文章

《正则表达式引擎的构建——基于编译原理DFA（龙书第三章）——1 概述》

《正则表达式引擎的构建——基于编译原理DFA（龙书第三章）——2 构造抽象语法树》

本篇将讲解对抽象语法树上的每一个节点计算对应的4个函数：nullable,followpos。

鉴于龙书已经对这一部分的理论和实现步骤进行了详细文字、图表描述。我就不在赘述了。只摘取其中一些重要的概念、难点谈谈我的理解。并结合具体的例子来演示一下函数的计算过程。

nullable,followpos这4 个函数在龙书上是这样解释的：

这4个函数里面，其中nullable函数是为计算firstpos,lastpos函数而做准备的。而firstpos,lastpos函数又是为计算followpos函数而做准备的。

实际上在DFA中，只有对于星号运算符的节点nullable函数才返回TRUE，因为星号运算符可以匹配空串。

对于nullable,firstpos函数的求法，龙书上给出的表格如下：

对于lastpos的求法，和firstpos的求法类似，差别只在对于cat结点时候，求法为

if( nullable(c2) )

{ lastpos(c1) 并上 lastpos(c2) }

else { lastpos(c2)}。

计算完firstpos和lastpos函数后，就可以计算最后的followpos函数了。followpos函数的简单理解就是，对于一个结点P，哪些结点是可能出现在节点P后面的，所有可能出现在P后面（紧随其后，相邻）的节点构成的集合就是followpos。

只有在遇到cat节点和star节点（星号节点）才有必要计算followpos值：

1. cat节点表示两个节点的连接，所以两个节点中，后一个节点的firstpos集合是前一个节点的lastpos集合中每一个节点的followpos集合。

2. 对于star节点，考虑到其后可以跟随自身，所以自身节点的firstpos集合是自身节点的lastpos集合中每一个节点的followpos集合。

在具体代码实现中，nullable可以用一个布尔变量表示，firstpos,followpos为3个向量（或链表）：

    BOOL                    m_bNullAble;
    vector<CNodeInTree*>    m_vecFirstPos;
    vector<CNodeInTree*>    m_vecLastPos;
    vector<CNodeInTree*>    m_vecFollowPos;

结合具体实例讲解4个函数的计算方法

我们来填写一下对应的集合，需要说明的一点是，在计算这些值和集合的时候，是对整个语法树进行深度优先遍历的，所以会先处理叶子节点再处理中间节点，最后才到整个树的根节点。

我们按照遍历过程中节点被处理的先后顺序列出下表：

请注意，在表中，处理完 a1,a2,或3 这3个节点后，这3个节点的followpos集合都是空的，因为可以跟随的节点还不知道。

接下来在处理*4节点时，因为在前面我们说过star节点需要计算followpos集合。具体的计算方法是这样的，遍历*4节点的lastpos集合，对其中的每一个节点N（也就是a1,a2两个节点），设置N的followpos节点为*4节点的firstpos集合。也就是说a1节点的followpso集合为{a1,a2}，a2节点的followpso集合也是{a1,a2}。处理完成之后的结果如下表：

可以看出，在处理followpos集合时，并不是处理 *4 节点本身的followpos集合，而是对*4 节点的firstpos集合中每一个节点进行处理。我们接着往下处理，看看cat节点的情况。

当处理到cat6节点时，其firstpos集合和lastpos集合如下：

因为cat6节点表示*4节点和a5节点的连接。所以cat6节点的firstpos集合首先要包含*4节点的firstpos集合（也就是a1,a2)，然后又因为*4节点的nullable函数为TRUE(star运算符可匹配空串)，所以还得加上a5节点的firstpos集合（a5节点）。所以cat6节点的firstpos集合为{a1，a2，a5}。

cat6节点的lastpos集合就是a5节点的lastpos集合。且因为a5节点的nullable函数为FALSE，所以不用再加上*4节点的lastpos集合了。最终得到的结果就是上面的表格。

下面我们在来看如何在cat节点处处理followpos集合。

还是根据我们前面提到的，"cat节点表示两个节点的连接，所以两个节点中，后一个节点的firstpos集合是前一个节点的lastpos集合中每一个节点的followpos集合。"

具体在这里，也就是对于cat6节点所连接的两个节点来说，将前一个节点*4节点的lastpos集合（{a1,a2}）取过来，对里面的每一个节点（a1,a2）设置followpos集合。用什么来设置followpos集合呢？用后一个节点（a5节点）的firstpos集合({a5})来设置。也就是说，在a1节点和a2节点的followpos集合中再加入a5节点。处理完毕后的结果见下表：

可以看出，在对cat6进行followpos函数的处理时，改变的是*4节点的firstpos集合中的节点（a1,a2）的followpos集合，和cat6节点自身的followpos集合无关。

接下来的节点处理情况和以上过程类似，最终得到的结果如下表：

至此，结合实例讲解的4个函数计算方法就讲完了。下一章将介绍DFA的构建。

整个引擎代码在github上，地址为：https://github.com/sun2043430/RegularExpression_Engine.git

关键代码

以下是计算本文中4个函数的关键代码

BOOL CNodeInTree::CalculateFunction(CNodeInTree *pNode)
{
    BOOL bRet = FALSE;
    if (!pNode)
        return TRUE;

    CHECK_BOOL ( CalculateFunction(pNode->m_Node1) );
    CHECK_BOOL ( CalculateFunction(pNode->m_Node2) );
    
    switch (pNode->m_pToken->GetType())
    {
    case eType_END:
    case eType_NORMAL:
    case eType_WILDCARD:
        pNode->m_bNullAble = FALSE;
        try 
        {
            pNode->m_vecFirstPos.push_back(pNode);
            pNode->m_vecLastPos.push_back(pNode);
        }
        catch (...)
        {
            goto Exit0;
        }
    	break;
    case eType_STAR:
        pNode->m_bNullAble = TRUE;
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecFirstPos,pNode->m_Node1->m_vecFirstPos) );
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecLastPos,pNode->m_Node1->m_vecLastPos) );
        CHECK_BOOL ( CalcFollowPos(pNode) );
        break;
    case eType_UNION:
        pNode->m_bNullAble = pNode->m_Node1->m_bNullAble || pNode->m_Node2->m_bNullAble;
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecFirstPos,pNode->m_Node1->m_vecFirstPos) );
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecFirstPos,pNode->m_Node2->m_vecFirstPos) );
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecLastPos,pNode->m_Node1->m_vecLastPos) );
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecLastPos,pNode->m_Node2->m_vecLastPos) );
        break;
    case eType_CONCAT:
        pNode->m_bNullAble = pNode->m_Node1->m_bNullAble && pNode->m_Node2->m_bNullAble;
        // firstpos(n)
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecFirstPos,pNode->m_Node1->m_vecFirstPos) );
        if (pNode->m_Node1->m_bNullAble)
        {
            CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecFirstPos,pNode->m_Node2->m_vecFirstPos) );
        }
        // lastpos(n)
        if (pNode->m_Node2->m_bNullAble)
        {
            CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecLastPos,pNode->m_Node1->m_vecLastPos) );
        }
        CHECK_BOOL ( AppendVector(pNode->m_vecLastPos,pNode->m_Node2->m_vecLastPos) );
        CHECK_BOOL ( CalcFollowPos(pNode) );
        break;
    default:
        goto Exit0;
    }

    bRet = TRUE;
Exit0:
    return bRet;
}

BOOL CNodeInTree::CalcFollowPos(CNodeInTree *pNode)
{
    BOOL bRet = FALSE;

    switch (pNode->m_pToken->GetType())
    {
    case eType_STAR:
        for (vector<CNodeInTree*>::iterator it = pNode->m_vecLastPos.begin();
             it != pNode->m_vecLastPos.end();
             it++)
        {
            AppendVector((*it)->m_vecFollowPos,pNode->m_vecFirstPos);
        }
    	break;
    case eType_CONCAT:
        for (vector<CNodeInTree*>::iterator it = pNode->m_Node1->m_vecLastPos.begin();
            it != pNode->m_Node1->m_vecLastPos.end();
            it++)
        {
            AppendVector((*it)->m_vecFollowPos,pNode->m_Node2->m_vecFirstPos);
        }
        break;
    default:
        goto Exit0;
    }

    bRet = TRUE;
Exit0:
    return bRet;
}