OWL-QN算法
转自：
http://www.cnblogs.com/vivounicorn/archive/2012/06/25/2561071.html
一、BFGS算法
算法思想如下：
Step1 取初始点，初始正定矩阵，允许误差
，令；
Step2 计算；
Step3 计算
，使得
；
Step4 令；
Step5 如果，则取为近似最优解；否则转下一步；
Step6 计算
，，
令，转Step2.
优点：
1、不用直接计算Hessian矩阵；
2、通过迭代的方式用一个近似矩阵代替Hessian矩阵的逆矩阵。
缺点：
1、矩阵存储量为，因此维度很大时内存不可接受；
2、矩阵非稀疏会导致训练速度慢。
二、L-BFGS算法
针对BFGS的缺点，主要在于如何合理的估计出一个Hessian矩阵的逆矩阵，L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息，从而大大降低数据存储空间。对照BFGS，我重新整理一下用到的公式：
于是估计的Hessian矩阵逆矩阵如下：
把
带入上式，得：
假设当前迭代为k，只保存最近的m次迭代信息，（即：从k-m~k-1），依次带入，得到：
公式1：
算法第二步表明了上面推导的最终目的：找到第k次迭代的可行方向，满足：
为了求可行方向p，有下面的:
two-loop recursion算法
该算法的正确性推导：
1、令: ，递归带入q：
相应的：
2、令：
于是:
这个two-loop recursion算法的结果和公式1*初始梯度的形式完全一样，这么做的好处是：
1、只需要存储、（i=1~m）；
2、计算可行方向的时间复杂度从O(n*n)降低到了O(n*m)，当m远小于n时为线性复杂度。
总结L-BFGS算法的步骤如下：
Step1: 选初始点，允许误差
，存储最近迭代次数m（一般取6）；
Step2: ；
Step3: 如果 则返回最优解，否则转Step4；
Step4: 计算本次迭代的可行方向：；
Step5: 计算步长
，对下面式子进行一维搜索：
；
Step6: 更新权重x：
；
Step7: if k > m
只保留最近m次的向量对，需要删除()；
Step8: 计算并保存：
；
Step9: 用two-loop recursion算法求得：
；
k=k+1，转Step3。
需要注意的地方，每次迭代都需要一个，实践当中被证明比较有效的取法为：
三、OWL-QN算法
1、问题描述
对于类似于Logistic Regression这样的Log-Linear模型，一般可以归结为最小化下面这个问题：
其中，第一项为loss function，用来衡量当训练出现偏差时的损失，可以是任意可微凸函数（如果是非凸函数该算法只保证找到局部最优解），后者为regularization term，用来对模型空间进行限制，从而得到一个更“简单”的模型。
根据对模型参数所服从的概率分布的假设的不同，regularization term一般有：L2-norm（模型参数服从Gaussian分布）；L1-norm（模型参数服从Laplace分布）；以及其他分布或组合形式。
L2-norm的形式类似于：
L1-norm的形式类似于：
L1-norm和L2-norm之间的一个最大区别在于前者可以产生稀疏解，这使它同时具有了特征选择的能力，此外，稀疏的特征权重更具有解释意义。
对于损失函数的选取就不在赘述，看两幅图：
图1 - 红色为Laplace Prior，黑色为Gaussian Prior
图2 直观解释稀疏性的产生
对LR模型来说损失函数选取凸函数，那么L2-norm的形式也是的凸函数，根据最优化理论，最优解满足KKT条件，即有：，但是L1-norm的regularization term显然不可微，怎么办呢？
2、Orthant-Wise Limited-memory Quasi-Newton
OWL-QN主要是针对L1-norm不可微提出的，它是基于这样一个事实：任意给定一个维度象限，L1-norm 都是可微的，因为此时它是一个线性函数：
图3 任意给定一个象限后的L1-norm
OWL-QN中使用了次梯度决定搜索方向，凸函数不一定是光滑而处处可导的，但是它又符合类似梯度下降的性质，在多元函数中把这种梯度叫做次梯度，见维基百科http://en.wikipedia.org/wiki/Subderivative
举个例子：
图4 次导数
对于定义域中的任何x0，我们总可以作出一条直线，它通过点(x0,f(x0))，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数，推广到多元函数就叫做次梯度。
次导数及次微分：
凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：
对于所有I内的x。可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a,b]，其中a和b是单侧极限
它们一定存在，且满足a ≤ b。所有次导数的集合[a,b]称为函数f在x0的次微分。
OWL-QN和传统L-BFGS的不同之处在于：
1)、利用次梯度的概念推广了梯度
定义了一个符合上述原则的虚梯度，求一维搜索的可行方向时用虚梯度来代替L-BFGS中的梯度：
怎么理解这个虚梯度呢？见下图：
对于非光滑凸函数，那么有这么几种情况：
图5
图6
图7 otherwise
2)、一维搜索要求不跨越象限
要求更新前权重与更新后权重同方向：
图8 OWL-QN的一次迭代
总结OWL-QN的一次迭代过程：
–Find vector of steepest descent
–Choose sectant
–Find L-BFGS quadratic approximation
–Jump to minimum
–Project back onto sectant
–Update Hessian approximation using gradient of loss alone
最后OWL-QN算法框架如下：
与L-BFGS相比，第一步用虚梯度代替梯度，第二、三步要求一维搜索不跨象限，也就是迭代前的点与迭代后的点处于同一象限，第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用loss function的梯度（因为L1-norm的存在与否不影响Hessian矩阵的估计）。
四、参考资料
1、Galen Andrew and Jianfeng Gao. 2007. 《Scalable training of L1-regularized log-linear models》. In Proceedings of ICML,pages 33–40.
3、http://research.microsoft.com/en-us/downloads/b1eb1016-1738-4bd5-83a9-370c9d498a03/default.aspx
