机器学习中常常会提到或者用到正则化项，在对目标函数求最优值时，常常通过L1,L2等正则化项来防止过拟合现象，对于正则化可以用来防止模型过拟合现象的问题，展开下讨论，加深理解。

先看着两句话

1. 正则化就是对最小化经验误差函数上加约束，这样的约束可以解释为先验知识(正则化参数等价于对参数引入先验分布)。约束有引导作用，在优化误差函数的时候倾向于选择满足约束的梯度减少的方向，使最终的解倾向于符合先验知识(如一般的l-norm先验，表示原问题更可能是比较简单的，这样的优化倾向于产生参数值量级小的解，一般对应于稀疏参数的平滑解)。 @H_404_23@

2. 正则化解决了逆问题的不适定性，产生的解是存在，唯一同时也依赖于数据的，噪声对不适定的影响就弱，解就不会过拟合，而且如果先验(正则化)合适，则解就倾向于是符合真解(更不会过拟合了)，即使训练集中彼此间不相关的样本数很少。 @H_404_23@ @H_404_23@ 从1中可以看出，L1，L2正则化项可以认为是为模型导入了先验分布，对模型向量进行“惩罚”，从而避免单纯最小二乘问题的过拟合问题。正则化项本质上是一种先验信息，整个最优化问题从贝叶斯观点来看是一种贝叶斯最大后验估计，其中正则化项对应后验估计中的，损失函数似然函数，两者的乘积即对应贝叶斯最大后验估计的形式，如果你将这个贝叶斯最大后验估计的形式取对数，即进行极大似然估计，你就会发现问题立马变成了损失函数+正则化项的最优化问题形式。

以Lasso为例：Lasso中中的目标函数即相当于如下的后验概率：
@H_404_23@

@H_404_23@

其中 @H_404_23@

@H_404_23@

(47)是似然函数，对应于Lasso中的损失函数，(48)是先验概率，相当于Lasso中的正则化项。可以看出，Lasso的正则化项从贝叶斯观点来看就是以Laplace先验信息，并且采用不同的先验信息，可得到不同的结果。因此，你可以设计其它的先验信息构成新的正则化项。例如，Group Lasso以变量的组结构为先验信息构成的正则化项可实现变量组选择。 @H_404_23@ @H_404_23@

@H_404_23@

正则化 （regularization），常见的介绍方式是：解决 overfitting 最常用的办法就是 regularization 。
两个基本例子：ridge regression 与 LASSO (least absolute shrinkage and selection operator) 。 @H_404_23@

1. ridge regression ：
采用L2 regularizer，使得模型的解偏向于 norm 较小的 W，通过限制 W 的 norm 的大小实现了对模型空间的限制，从而在一定程度上避免了 overfitting 。
不过 ridge regression 并不具有产生稀疏解的能力，得到的系数仍然需要数据中的所有特征才能计算预测结果，从计算量上来说并没有得到改观。 @H_404_23@

2. LASSO ：
采用L1 regularizer，它的优良性质是能产生稀疏性，导致 W 中许多项变成零。稀疏的解除了计算量上的好处之外，更重要的是更具有“可解释性”。比如说，一个病如果依赖于 5 个变量的话，将会更易于医生理解、描述和总结规律，但是如果依赖于 5000 个变量的话，基本上就超出人肉可处理的范围了。 @H_404_23@ @H_404_23@