过拟合(Overfitting)与欠拟合(Underfitting)

欠拟合

一个模型不能很好的拟合数据,或者说有很强的偏向,或者说有很大的偏差(High bias)
此时我们不能很好的预测新样本数据

过拟合

特点:$J(\theta)\approx 0$
一个模型过于拟合训练数据,或者说有很高的方差(High varionce).
这种情况可能也会造成函数过大,变量过多的情况

小结

我们需要更为准确的预测,一组数据不可能代表所有的可能性.
所以我们需要泛化(generalize)模型来预测新的样本数据.

解决

1. 减少特征
   
   • 人工删除
   • 模型选择算法
2. 正则化(Regularization)
   
   • 保留所有特征但是减少$\theta _ J$的数量级或者大小.
   • 其中每一个都为预测$y$贡献一点点

代价函数

对于正则化来,说我们通过改变代价函数来约束参数的大小,从而改变该特征对模型影响的大小来使模型更为简单.举个栗子:

在这个栗子中,由于costFunction,$\theta _ 3$ 和 $\theta _ 4$将会约等于0,也就是贡献非常小.
我们将这种代价函数一般化:

$$J(\theta) = \frac {1}{2m} \begin{bmatrix} \sum _ {i=1}^{m}(h _ \theta (x^{(i)}) - y^{(i)}) + \lambda\sum _ {j = 1} ^{n} \theta _ {j} ^{2} \end{bmatrix}$$
首先这个代价函数有两个目标:
1. 匹配训练集
2. 保持参数尽可能小

其中 λ∑@H_269_502@nj=1θ2j $\lambda\sum _ {j = 1} ^{n} \theta _ {j} ^{2}$叫做正则化参数(regularization parameter)也就是我们常说的模型的偏见,用于第二个目标
$\lambda$用于平衡两个目标之间的平衡.
如果$\lambda$过大会欠拟合,过小会过拟合.
注意:通常不会正则化$theta _ 0$,虽然影响不大.

梯度下降

那么通过上面代价函数的修改,梯度下降则变为:

$$\begin{array}{l} repeat\;until \; convergence \{ \\ \qquad \theta _ 0 := \theta _ 0 - \alpha\frac{1}{m} \sum^m _ {i=1}( h _ \theta(x^{(i)})-y^{(i)})x _ 0^{(i)} \\ \qquad \theta _ j := \theta _ j(1-\alpha\frac{\lambda}{m}) - \alpha\frac{1}{m} \sum^m _ {i=1}( h _ \theta(x^{(i)})-y^{(i)})x _ j^{(i)} \qquad(j = 1,2,...,n) \\ \} \end{array}$$
一般的 (1−αλm)@H_873_1301@<1 $(1-\alpha\frac{\lambda}{m}) < 1$,一般小于1一点点.

正则方程

我们在线性回归中介绍了正则方程.
在这里我们也可以用来计算正则方程参数.
下面是线性回归中无偏向的正则方程:

$$X(design\ matrix) = \left[ \begin{matrix} (x^{(1)})^T&\\ \vdots&\\ (x^{(n)})^T&\\ \end{matrix} \right]$$

$$\theta=(X^TX)^-1X^Ty$$

那么加上偏好

$$\theta= (X^TX + \lambda \begin{bmatrix} 0&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\ 0&0&0&&1 \end{bmatrix} )^-1 X^Ty$$
其中矩阵大小为 $(n+1) * (n+1)$

可逆矩阵

可以证明:只要 λ>0 那么存在上述矩阵.