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为什么要先进行案例研究？
没有比较好的数学基础，直接接触深度学习会非常抽象，所以这里我们先通过一个预测 Pokemon Go 的 Combat Power (CP) 值的案例，打开深度学习的大门。
Regression （回归）
应用举例（预测Pokemon Go 进化后的战斗力）
比如估计一只神奇宝贝进化后的 CP 值（战斗力）。
下面是一只妙蛙种子，可以进化为妙蛙草，现在的CP值是14，我们想估计进化后的CP值是多少；进化需要糖果，好处就是如果它进化后CP值不满意，那就不用浪费糖果来进化它了，可以选择性价比高的神奇宝贝。
输入用了一些不同的
输出就是进化后的CP值
三个步骤
上一篇提到了机器学习的三个步骤：
Step1.确定一组函数（Model）。
Step2.将训练集对函数集进行训练。
Step3.挑选出“最好”的函数
然后就可以使用
Step1: Model
这个model 应该长什么样子呢，先写一个简单的：我们可以认为进化后的CP值
可以有
这个函数集中可以有无限多的 function。所以我们用
我们将式1-1 称作 Linear model， Linear model 形式为：
Step2: 方程的好坏
现在就需要搜集训练集，这里的数据集是 Supervised 的，所以需要 function 的输入和输出（数值），举例抓了一只杰尼龟，进化前的CP值为612，用
下面我们来看真正的数据集（来源 Source: https://www.openintro.org/stat/data/?data=pokemon）
来看10只神奇宝贝的真实数据，
有了训练集，为了评价 function 的好坏，我们需要定义一个新的函数，称为 Loss function (损失函数)，定义如下：
Loss function
input: a function,output: how bad it is
Loss function是比较特别的函数，是函数的函数，因为它的输入是一个函数，而输出是表示输入的函数有多不好。 可以写成下面这种形式：
损失函数是由一组参数 w和b决定的，所以可以说损失函数是在衡量一组参数的好坏。
这里用比较常见的定义形式：
将实际的数值
这里不取各个偏差的代数和
为了更加直观，来对损失函数进行作图：
图上每个点都代表一个方程，比如红色的那个点代表
Step3：最好的方程
定好了损失函数，可以衡量每一个方程的好坏，接下来需要从函数集中挑选一个最好的方程。将这个过程数学化：
由于这里举例的特殊性，对于式1-3，直接使用最小二乘法即可解出最优的 w 和 b，使得总偏差最小。
简单说一下最小二乘法，对于二元函数
f(x,y) ，函数的极值点必为∂f∂x 及∂f∂y 同时为零或至少有一个偏导数不存在的点；这是极值的必要条件。用这个极值条件可以解出w 和 b。（详情请参阅《数学分析，第三版下册，欧阳光中 等编》第十五章，第一节）
但这里会使用另外一种做法，Gradient Descent（最速下降法），最速下降法不光能解决式1-3 这一种问题；实际上只要
Gradient Descent（梯度下降法）
简单来看一下梯度下降法的做法。
考虑只有一个参数
那么每次更改
由于这里斜率是负的，所以是
直到找到一个点，这个点的斜率为0。但是例子中的情况会比较疑惑，这样的方法很可能找到的只是局部极值，并不是全局极值，但这是由于我们例子的原因，针对回归问题来说，是不存在局部极值的，只有全局极值。所以这个方法还是可以使用。
下面来看看两个参数的问题。
两个参数的区别就是每次需要对两个参数求偏微分，然后同理更新参数的值。
关于梯度可以参阅《数学分析，第三版下册，欧阳光中 等编》，第十四章第六节。也可以大概看看百度百科又或者wikipedia
将上述做法可视化：
同理梯度下降的缺陷如下图：
可能只是找到了局部极值，但是对于线性回归，可以保证所选取的损失函数式1-2是 convex（凸的，即只存在唯一极值）。上图右边就是损失函数的等高线图，可以看出是一圈一圈向内减小的。
结果怎么样呢？
将求出的结果绘图如下
可以计算出训练集上的偏差绝对值之和为 31.9
但真正关心的并不是在训练集上的偏差，而是Generalization的情况，就是需要在新的数据集（测试集）上来计算偏差。如下图：
使用十个新的神奇宝贝的数据作为测试集计算出偏差绝对值之和为35.
接下来考虑是否能够做的更好，可能并不只是简单的直线，考虑其他model的情况：
比如重新设计一个model，多一个二次项，来求出参数，得到Average Error为15.4，在训练集上看起来更好了。在测试集上得出的Average Error是18.4，确实是更好的Model。
再考虑三次项：
得到的结果看起来和二次项时候的结果差别不大，稍微好一点点。也可以看到@H_465_3015@
再考虑四次项：
此时在训练集上可以做的更好，但是测试集的结果变差了。
再考虑五次项：
可以看到测试集的结果非常差。
Overfitting（过拟合，过度学习）
将训练集上的Average Error变化进行作图：
可以看到训练集上的 Average Error 逐渐变小。
上面的那些model，高次项是包含低次项的function。理论上确实次幂越高越复杂的方程，可以让训练集的结果越低。但加上测试集的结果：
观察得出结果：虽然越复杂的model可以在训练集上得到更好的结果，但越复杂的model并不一定在测试集上有好的结果。这个结论叫做“Overfitting（过拟合）”。
如果此时要选model的话，最好的选择就是三次项式子的model。
实际生活中典型的学驾照，学驾照的时候在驾校的训练集上人们可以做的很好，但上路之后真正的测试集就完全无法驾驭。这里只是举个训练集很好，而测试集结果很差的例子^_^
如果数据更多会怎样？
考虑60只神奇宝贝的数据
可以看出物种也是一个关键性的因素，只考虑进化前的CP值是太局限的，刚才的model就设计的不太好。
新的model如下
将这个model写成linear model的形式：
来看做出来的结果：
不同种类的神奇宝贝用的参数不同，用颜色区分。此时model在训练集上可以做的更好，在测试集上的结果也是比之前的18.1更好。
还有其他因素的影响吗？
比如对身高，体重，生命值进行绘图：
重新设计model：
考虑上生命值（
这么复杂的model，理论上训练集上可以得到更好的结果，实际为1.9，确实是更低。但是测试集的结果就过拟合了。
Regularization（正则化）
对于上面那么多参数结果并不理想的情况，这里进行正则化处理，将之前的损失函数进行修改：
式1-5 中多加了一项：
平滑的意思是当输入变化时，输出对输入的变化不敏感。比如式1-5 中输入增加了
上图是对
训练集上得到的结果是：当
所以最后这件事情就是找到最合适的
对于Regularization 的时候，多加的一项：
λ∑(wi)2 ，并没有考虑b ，是因为期望得到平滑的function，但bias这项并不影响平滑程度，它只是将function上下移动，跟function的平滑程度是没有关系的。
总结
- Pokemon：原始的CP值极大程度的决定了进化后的CP值，但可能还有其他的一些因素。
- Gradient descent：梯度下降的做法；后面会讲到它的理论依据和要点。
- Overfitting和Regularization：过拟合和正则化，主要介绍了表象；后面会讲到更多这方面的理论
@H_58_404@ 原文链接：https://www.f2er.com/regex/358451.html
