前言

机器学习中的核心问题：模型的设计不仅在训练数据上表现好，并且能在新输入上泛化好；
正则化策略：以增大训练误差为代价，来减少测试误差（如果在训练误差上很小，可能出现过拟合的情况）；
最好的拟合模型（最小化泛化误差的意义上）是一个适当正则化的大型模型；

参数范数惩罚

许多正则化方法通过对目标函数$J$ 添加一个参数范数惩罚 $\Omega(\theta)$，限制模型的学习能力，我们将正则化后的目标函数记为：

$$\hat J(\theta;X,\ y) = J(\theta;X,\ y) + \alpha \cdot \Omega(\theta)$$
当我们的训练算法最小化正则化后的目标函数 $\hat J$时，它会降低原始目标 $J$ 关于训练数据的误差并同时减小参数 $\theta$的规模。
常见的参数正则化函数包括： $L^2$， $L^1$参数正则化。

$L^2$ 参数正则化：

$$\Omega(\theta) = \frac{1}{2}||\omega||_2^2$$
加入正则项后，经过具体的公式推导和分析可以知道（推算过程也不是很难懂的。）， $L^2$参数正则化能让学习深度学习的算法“感知”到具有较高方差的输入 $x$，因此 与目标的协方差较小（相对增加方差）的特征的权值将会收缩。

它是权重衰减一种最常见的方式！

$L^1$ 参数正则化：

$$\Omega(\theta) = ||\omega||_1 = \sum_i |\omega_i|$$
加入正则项后，经过一些推导和分析，得到 $L^1$正则化会产生更加稀疏的解（参数具有0的最优值），它与 $L^2$正则化不同， $L^2$正则化不会使得某个权重为 $0$，而 $L^1$正则化有可能通过足够大的 $\alpha$ 实现稀疏。

由$L^1$正则化导出的稀疏性质已经被广泛地用于特征选择 机制，特征选择从可用的特征子集选择应该使用的子集，简化了机器学习问题。

特别是著名的$LASSO(Tibshirani,1995)$模型将$L^1$惩罚和线性模型结合，并使用最小二乘代价函数。 L1 惩罚使部分子集的权重为零，表明相应的特征可以被安全地忽略。