1. 容量、过拟合、欠拟合（为什么需要正则化？）

机器学习两个重要过程分别是训练和预测，在训练过程中，学习的目标是降低训练误差，然而，降低训练误差只是为了达到目标采取的手段，真正的目标是预测，是预测误差，也称泛化误差很小。泛化的含义是在先前未观测到的输入上表现良好的能力。
训练后可能达到的效果有三种：
A. 训练误差大，泛化误差也大
B. 训练误差小，泛化误差大
C. 训练误差小，泛化误差也小
第一种是欠拟合、第二种是过拟合，第三种才是我们希望的状态。
模型的容量是指模型拟合各种函数的能力。训练得到的模型容量是表示容量，而预测表征的容量才是有效容量。两个容量都偏小是欠拟合状态，算法迭代不够，学习不到位；训练误差小，而泛化误差大是过拟合状态，迭代过头了，或者数据集太小，参数拟合太细节化了。
解决欠拟合需要增加参数或者增加迭代次数；解决过拟合需要弱化一些次要参数或者丰富训练数据集。
个人总结了解决过拟合的方法有：增加数据集数量、对训练数据做数据增强、参数惩罚、dropout，这一系列方法都能降低泛化误差。修改学习算法，降低泛化误差而非训练误差的过程称为正则化。

2. L2参数正则化

参数范数惩罚是在目标函数上添加一个惩罚项，组成新的目标函数进行优化。为什么这样做能起到正则化的作用呢？推导如下：
L2参数正则化添加的惩罚项 是w的二阶范数平方乘惩罚系数

未加惩罚项前的目标函数 ，假设 为最优目标函数，此时，在 处针对w做 的二阶泰勒展示，可得：

梯度为

这里需要注意的是， 表示所有的参数，包括权重w和偏执b，但是只对权重做正则化，因为每一个偏执是单一变量，不对其做正则化也不会导致太大方差，做了反而可能出现欠拟合。

加入新的目标函数为

梯度为

假设 为最优参数，在最优参数位置梯度为0，因此

转换后

H是目标函数在 处的Hessian矩阵，H为实对称矩阵，因此，H可以分解成 ，且Q为标准正交基，因此，且，

根据特征分解的性质， 是特征值组成的对角矩阵（diag(λ1,λ2,…)），而I是单位矩阵，因此：

对于特征值以及其对应的特征向量，该维权重

因此，权重衰减是按照H的特征向量方向，按照的比例缩放。特征分解中已经提到特征值越大，说明该维特征对模型的影响越明显，越主要，而越大，越接近于1，该维权重保存越完整，越小，该维特征越次要，越接近于0，权重衰减越厉害。
因此，L2的目标是对能显著减小目标函数方向上的权重保留完整，在无助于目标减小的方向上权重衰减明显。

3. L1正则化

如上L2权重衰减的理论依据很充分，但是L2几乎保留了所有的参数，而L1正则化能让权重稀疏化。L1正则化是在目标函数上加w的L1范数组成新的目标函数。新的目标函数为

其中
对新的目标函数进行泰勒二次近似，可得

对 梯度为
在最小目标函数处

由于权重大于等于0，因此

当
当
也就是设定了一个界限，小于这个界限的权重全部衰减为0，大于这个界限的权重取高出界限的部分为新的权重。为Hessian矩阵的对i行i列，也就是目标函数对求二阶导。
权重矩阵的稀疏性由α控制，α越大，被衰减为0的权重越多，矩阵稀疏性越强，α越小，保留下来的权重越多。

无论是L2还是L1，其中的α都是模型的超参数，超参数是非训练得到的，因此，它可以自定义，也可以通过某种规则制定或调解，但调节过程在训练之外。