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在最近的推送中，先后总结了最小二乘法的原理，两个求解方法：直接法和梯度下降，最后利用这两种思路进行了python实战；之后阐述了OLS算法使用的前提是必须满足数据集无多重共线性，因为它是无偏估计，这也带来了它非常惧怕多重共线性问题，在面对这些数据时，它往往得到的权重参数方差大，是一个不稳定的回归算法。

工程应用中，你拿到的数据集可能有上百个特征维度，实际上是很难保证数据集中的所有维度都满足无共线性，所以OLS实际上没有太多的实际应用价值，它必须要想到一种办法解决多重共线性，进而过滤掉那些权重参数等于或接近于0的特征项，因为它们根本就对最终的标签值贡献不了任何东西，我们最终想要的结果是从这100个维度中，得到一些，可能最后只有10个特征，或个位数个特征是主要的影响标签值的特征，它们才是贡献最大的特征列。

要想达成这个目标，脊回归和套索回归出现了，它们无一例外的在OLS的基础上做了一定优化，发现都是加了一项，这一项就是大名鼎鼎的正则化项。

1 L1和L2正则化项

正则化项在机器学习中几乎无处不在，无一例外的都可以看到损失函数后面会添加一个额外项。

常用的额外项一般有两种，L1正则化和L2正则化 ，它们都可以看做是成本函数的惩罚项（指对成本函数中的参数做的一些限制）。

对于线性回归模型，在上篇推送中我们说到了套索回归，它是应用了L1正则化项，而脊回归应用了L2正则化项。L1正则化是指权重参数 w 中各个元素的绝对值之和，通常表示为 ||w||1；L2正则化是指 中各个元素的平方和然后再求平方根，通常表示为 ||w||2 。

一般都会在正则化项之前添加一个系数α，这在机器学习中称为超参数（权重参数以外的相关参数称为超参数）。

那么L1正则化项和L2正则化项到底是如何做到对成本函数的参数惩罚的呢？ 它们到底起到什么作用呢？

2 L1和L2的作用

L1正则化可以产生稀疏权重参数矩阵，从而得到一个稀疏模型，这样表示为0的特征的贡献值为0，那么自然地我们会在这100个特征列中将这些过滤掉，只留下那些对因变量产生主要贡献的参数，简而言之，这样我们可以用L1正则化进行特征选择；同时一定程度上，L1可以防止过拟合。

L2正则化可以防止模型过拟合。

下面先初步看下L1和L2正则化项取值的图型，假定模型的主要两个权重参数分别为w1和w2，分别在Jupyter Notebook中写python代码模拟取值。

看下L1和L2的定义：

# 定义L1正则化项
def L1(w1,w2):
    return np.abs(w1) + np.abs(w2)

# 定义L2正则化项
def L2(w1,w2):
    return (w1**2+w2**2)

正则化项取值图：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# 数据数目
n = 256
# 定义x,y
x = np.linspace(-2,2,n)
y = np.linspace(-2,n)
# 生成网格数据
X,Y = np.meshgrid(x,y)
# 填充等高线的颜色,6是等高线分为几部分
plt.contourf(X,Y,L2(X,Y),6,alpha = 0.75,cmap = plt.cm.hot)
#C = plt.contour(X,Y,L2(X,Y),6,colors = 'black',linewidth = 0.2)
plt.show()

L1正则化项取值的等高线图，两个坐标轴：w1，w2

L1正则化项取值的等高线图带有高度的图

L2正则化项取值的等高线图，两个坐标轴：w1，w2

L2正则化项取值的等高线图带有高度的图

从以上结果图中看到L1的等高线图是一个四边形（对于二维特征来说），L2是一个圆形。

3 L1如何做到稀疏

OLS的成本函数添加L1正则化项后，套索回归的成本函数变为了以上两项，其中前一项记为 costOLS，后一项记为 costL1。还是假定数据集的特征为二维：w1,w2，costOLS的等高线和 costL1的图如下所示：

当 costOLS 等值线与costL1 图形首次在一个顶点处相交，此处就是最成本函数最小值，注意到此时的权重参数 w1等于0，这不就是把2个特征稀疏到1个了吗！

当上升到参数含有多个时，costL1会有更对的角点出来，比如100维空间中，这样导致的一个直接结果便是costOLS 会率先与这些角点相碰的机率大于与其他部位相碰的机率，这就是为什么L1可以产生稀疏模型从而用于特征选择。

那么再聊聊超参数alfa对costL1图形的影响吧！ alfa越小，表明正则化惩罚的力度越小，那么 costL1的面积就会越大，这样权重参数被稀疏的程度（等于0的个数）就越小；alfa 越大，惩罚力度越大，稀疏的程度就越大。

4 L2如何做到防止过拟合

从第二节的介绍中我们可以看到L2正则化的等高线是个圆形。相比于L1正则化的方形相比，自然地，costOLS与 L2 相交时使得 w1 或w2 等于零的机率会缩小，这样与L1正则相比，为什么 L2 稀疏能力不强大的原因。具体可以参考上节推送的例子：机器学习线性回归：谈谈多重共线性问题及相关算法，其中举例了直接调用sklearn API：OLS，Ridge,Lasso 三种回归，得到的权重参数比较。

但是L2正则化可以防止过拟合，L2正则化项通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。

可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大（这个在之前的推送中：机器学习之线性回归：OLS 无偏估计及相关性python分析，机器学习线性回归：谈谈多重共线性问题及相关算法，多次看到OLS得到的权重参数会很大），那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响，OLS对多重共线性问题的抗扰动能力很差！

那么带L2正则化项的脊回归为什么得到的权重参数往往很小呢？ 在前面的推送中我们已经知道OLS的梯度下降，参数的迭代公式如下：

在脊回归中，加了L2后的参数迭代公式优化为如下：

以上两个公式，并未引入学习率这个参数。

可以看到，每次迭代都会使参数比之前下降的快了，因为乘以了一个小于1的数，所以参数会更小些。

让我们看一下远边的大海，和海边优美的风景，先放松一下吧！

4 总结

以上详细总结了L1和L2正则化在机器学习中发挥的作用，文章以线性回归的正则化：脊回归和套索回归为例子，阐述了L1更擅长进行参数向量的稀疏化，而L2相比于L1更能防止过拟合的发生。

明天，我们开始总结机器学习中非常重要的，应用很广泛的逻辑回归了，欢迎您的关注！

谢谢您的阅读，期待您的到来。

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