本文讲的内容都很初级,主要是面向和我一样的初学者,所以请各位算法帝们轻拍啊
引用
已知线段1(a,b) 和线段2(c,d),其中a b c d为端点,求线段交点p .(平行或共线视作不相交)
算法一: 求两条线段所在直线的交点,再判断交点是否在两条线段上.
求直线交点时 我们可通过直线的一般方程
ax+by+c=0
求得(方程中的abc为系数,不是前面提到的端点,另外也可用点斜式方程和斜截式方程,此处暂且不论).然后根据交点的与线段端点的位置关系来判断交点是否在线段上.
公式如下图:
// 如果分母为0 则平行或共线,不相交
var denominator = (b.y - a.y)(d.x - c.x) - (a.x - b.x)(c.y - d.y);
if (denominator==0) {
return false;
}
// 线段所在直线的交点坐标 (x,y)
var x = ( (b.x - a.x) (d.x - c.x) (c.y - a.y)
- (b.y - a.y) (d.x - c.x) a.x
- (d.y - c.y) (b.x - a.x) c.x ) / denominator ;
var y = -( (b.y - a.y) (d.y - c.y) (c.x - a.x)
- (b.x - a.x) (d.y - c.y) a.y
- (d.x - c.x) (b.y - a.y) c.y ) / denominator;
/ 2 判断交点是否在两条线段上 /
if (
// 交点在线段1上
(x - a.x) (x - b.x) <= 0 && (y - a.y) (y - b.y) <= 0
// 且交点也在线段2上
&& (x - c.x) (x - d.x) <= 0 && (y - c.y) (y - d.y) <= 0
){
// 返回交点p
return {
x : x,y : y
}
}
//否则不相交
return false
}
算法一思路比较清晰易懂,但是性能并不高. 因为它在不确定交点是否有效(在线段上)之前,就先去计算了交点,耗费了较多的时间.
如果最后发现交点无效,那么之前的计算就白折腾了. 而且整个计算的过程也很复杂.
那么有没有一种思路,可以让我们先判断是否存在有效交点,然后再去计算它呢?
显然答案是肯定的. 于是就有了后面的一些算法.
算法二: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧,是则求出两条线段所在直线的交点,否则不相交.
第一步判断两个点是否在某条线段的两侧,通常可采用投影法:
求出线段的法线向量,然后把点投影到法线上,最后根据投影的位置来判断点和线段的关系.
见下图
点a和点b在线段cd法线上的投影如图所示,这时候我们还要做一次线段cd在自己法线上的投影(选择点c或点d中的一个即可).
主要用来做参考.
图中点a投影和点b投影在点c投影的两侧,说明线段ab的端点在线段cd的两侧.
同理,再判断一次cd是否在线段ab两侧即可.
求法线,求投影 什么的听起来很复杂的样子,实际上对于我来说也确实挺复杂,在几个月前我也不会(念书那会儿的几何知识都忘光了 :'( )'
不过好在学习和实现起来还不算复杂,皆有公式可循
求线段ab的法线:
注意:
其中normalLine.x和normalLine.y的几何意义表示法线的方向,而不是坐标.
求点c在法线上的投影位置:
注意:
这里的"投影位置"是一个标量,表示的是到法线原点的距离,而不是投影点的坐标.通常知道这个距离就足够了.
当我们把图中 点a投影(distA),点b投影(distB),点c投影(distC) 都求出来之后,就可以很容易的根据各自的大小判断出相对位置.
distA==distB==distC 时,两条线段共线
distA==distB!=distC 时,两条线段平行
distA 和 distB 在distC 同侧时,两条线段不相交.
distA 和 distB 在distC 异侧时,两条线段是否相交需要再判断点c点d与线段ab的关系.
前面的那些步骤,只是实现了"判断线段是否相交",当结果为true时,我们还需要进一步求交点.
求交点的过程后面再说,先看一下该算法的完整实现 :
var nx1 = (b.y - a.y),ny1 = (a.x - b.x);
//线段cd的法线N2
var nx2 = (d.y - c.y),ny2 = (c.x - d.x);
//两条法线做叉乘,如果结果为0,说明线段ab和线段cd平行或共线,不相交
var denominator = nx1ny2 - ny1nx2;
if (denominator==0) {
return false;
}
//在法线N2上的投影
var distC_N2=nx2 c.x + ny2 c.y;
var distA_N2=nx2 a.x + ny2 a.y-distC_N2;
var distB_N2=nx2 b.x + ny2 b.y-distC_N2;
// 点a投影和点b投影在点c投影同侧 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理);
if ( distA_N2*distB_N2>=0 ) {
return false;
}
//
//判断点c点d 和线段ab的关系,原理同上
//
//在法线N1上的投影
var distA_N1=nx1 a.x + ny1 a.y;
var distC_N1=nx1 c.x + ny1 c.y-distA_N1;
var distD_N1=nx1 d.x + ny1 d.y-distA_N1;
if ( distC_N1*distD_N1>=0 ) {
return false;
}
//计算交点坐标
var fraction= distA_N2 / denominator;
var dx= fraction ny1,dy= -fraction nx1;
return { x: a.x + dx,y: a.y + dy };
}
最后 求交点坐标的部分 所用的方法看起来有点奇怪,有种摸不着头脑的感觉.
其实它和算法一 里面的算法是类似的,只是里面的很多计算项已经被提前计算好了.
换句话说,算法二里求交点坐标的部分 其实也是用的直线的线性方程组来做的.
现在来简单粗略 很不科学的对比一下算法一和算法二:
1、最好情况下,两种算法的复杂度相同
2、最坏情况,算法一和算法二的计算量差不多
3、但是算法二提供了 更多的”提前结束条件”,所以平均情况下,应该算法二更优.
实际测试下来,实际情况也确实如此.
前面的两种算法基本上是比较常见的可以应付绝大多数情况. 但是事实上还有一种更好的算法. 这也是我最近才新学会的(我现学现卖了,大家不要介意啊…)
算法三: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧,否则不相交.
(咦? 怎么感觉和算法二一样啊? 不要怀疑 确实一样 … 囧)
所谓算法三,其实只是对算法二的一个改良,改良的地方主要就是 :
不通过法线投影来判断点和线段的位置关系,而是通过点和线段构成的三角形面积来判断.
先来复习下三角形面积公式: 已知三角形三点a(x,y) b(x,y) c(x,y),三角形面积为:
因为 两向量叉乘==两向量构成的平行四边形(以两向量为邻边)的面积,所以上面的公式也不难理解.
而且由于向量是有方向的,所以面积也是有方向的,通常我们以逆时针为正,顺时针为负数.
改良算法关键点就是:
如果”线段ab和点c构成的三角形面积”与”线段ab和点d构成的三角形面积” 构成的三角形面积的正负符号相异,
那么点c和点d位于线段ab两侧.
如下图所示:
图中虚线所示的三角形,缠绕方向(三边的定义顺序)不同,所以面积的正负符号不同.
下面还是先看代码:
由于我们只要判断符号即可,所以前面的三角形面积公式我们就不需要后面的 除以2 了.
var area_abc = (a.x - c.x) (b.y - c.y) - (a.y - c.y) (b.x - c.x);
// 三角形abd 面积的2倍
var area_abd = (a.x - d.x) (b.y - d.y) - (a.y - d.y) (b.x - d.x);
// 面积符号相同则两点在线段同侧,不相交 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理);
if ( area_abc*area_abd>=0 ) {
return false;
}
// 三角形cda 面积的2倍
var area_cda = (c.x - a.x) (d.y - a.y) - (c.y - a.y) (d.x - a.x);
// 三角形cdb 面积的2倍
// 注意: 这里有一个小优化.不需要再用公式计算面积,而是通过已知的三个面积加减得出.
var area_cdb = area_cda + area_abc - area_abd ;
if ( area_cda * area_cdb >= 0 ) {
return false;
}
//计算交点坐标
var t = area_cda / ( area_abd- area_abc );
var dx= t(b.x - a.x),dy= t(b.y - a.y);
return { x: a.x + dx,y: a.y + dy };
}
最后 计算交点坐标的部分 和算法二同理.
算法三在算法二的基础上,大大简化了计算步骤,代码也更精简. 可以说,是三种算法里,最好的.实际测试结果也是如此.
当然必须坦诚的来说,在Javascript里,对于普通的计算,三种算法的时间复杂度其实是差不多的(尤其是V8引擎下). 我的测试用例里也是进行变态的百万次级别的线段相交测试 才能拉开三种算法之间的差距.
总结
不过本着精益求精 以及学习的态度而言,追求一个更好的算法,总是有其积极意义的。以上就是利用js实现线段交点的几种算法，内容不是很深奥，希望对大家学习js有所帮助。
