我尝试在Coq中定义一个归纳依赖类型来表示位向量逻辑中的位向量变量.
我读了Xavier Leroy的blog post,他在其中定义了如下结构：
Require Import Vector. Inductive bitvector : Type := Bitvector (n: nat) (v: Vector.t bool n).
然后,为了测试这种做法,我尝试定义按位求反运算符如下：
Definition bv_neg (v : bitvector) :=
match v with
Bitvector n w => Bitvector n (Vector.map negb w)
end.
并且,开始证明应用两次否定相当于身份：
Lemma double_neg : forall (v : bitvector),(bv_neg (bv_neg v) = v).
但是,当我试图进行证明时,我意识到,在每个证明中,使用零大小的位向量都没有意义并强制处理特殊情况n = 0.
所以,我想知道如何强制归纳依赖型参数严格为正.
任何暗示都是受欢迎的！
解决方法
一种方法是确保存储的Vector的大小为S n.
Inductive bitvector : Type := Bitvector (n: nat) (v: Vector.t bool (S n)).
但是,我不明白为什么你想要在这种特殊情况下做到这一点,因为引理是完全可证明的：它是一个相当简单的推论,你可能会在以后需要更一般的引理.
你的定义(没有改变)：
Require Import Vector.
Inductive bitvector : Type := Bitvector (n: nat) (v: Vector.t bool n).
Definition bv_neg (v : bitvector) :=
match v with
Bitvector n w => Bitvector n (Vector.map negb w)
end.
Vector.map上的一些结果：
Lemma map_fusion :
forall {A B C} {g : B -> C} {f : A -> B} {n : nat} (v : Vector.t A n),Vector.map g (Vector.map f v) = Vector.map (fun x => g (f x)) v.
Proof.
intros A B C g f n v ; induction v.
- reflexivity.
- simpl; f_equal; assumption.
Qed.
Lemma map_id :
forall {A} {n : nat} (v : Vector.t A n),Vector.map (@id A) v = v.
Proof.
intros A n v ; induction v.
- reflexivity.
- simpl; f_equal; assumption.
Qed.
Lemma map_extensional :
forall {A B} {f1 f2 : A -> B}
(feq : forall a,f1 a = f2 a) {n : nat} (v : Vector.t A n),Vector.map f1 v = Vector.map f2 v.
Proof.
intros A B f1 f2 feq n v ; induction v.
- reflexivity.
- simpl; f_equal; [apply feq | assumption].
Qed.
最后,你的结果：
Lemma double_neg : forall (v : bitvector),(bv_neg (bv_neg v) = v). Proof. intros (n,v). simpl; f_equal. rewrite map_fusion,<- map_id. apply map_extensional. - intros []; reflexivity. Qed.
