求最小函数依赖集分三步:

1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,c->i,g->h};

3.去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理(ab)+={a,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为 F={abd->e,g->h};

最小函数依赖集

　　定义：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。

　　① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

　　② F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；

　　③ F中不存在这样一个函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

　　算法：计算最小函数依赖集。

　　输入 一个函数依赖集

　　输出 F的一个等价的最小函数依赖集G

　　步骤：① 用分解的法则，使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；

　　　　　② 去掉多余的函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+，看X+是否包含Y，若是，则去掉X→Y；否则不能去掉，依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖；

　　　　　③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A，若要判Y为多余的，则以X→A代替XY→A是否等价？若A属于(X)+，则Y是多余属性，可以去掉。

　　举例：已知关系模式R，U={A,B,C,D,E,G}，F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG}，求F的最小函数依赖集。

　　解1：利用算法求解，使得其满足三个条件

　　① 利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为：F={AB→C,D→E,D→G,CG→B,CG→D,CE→A,CE→G}

　　② 去掉F中多余的函数依赖

　　A．设AB→C为冗余的函数依赖，则去掉AB→C，得：F1={D→E,CE→G}

　　计算(AB)F1+：设X(0)=AB

　　计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB，算法终止。

　　(AB)F1+= AB不包含C，故AB→C不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

　　B．设CG→B为冗余的函数依赖，则去掉CG→B，得：F2={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F2+：设X(0)=CG

　　计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　计算X(2)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

　　计算X(3)：扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖，得到两个ACD→B和D→E函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG，因为X(3)=U，算法终止。

　　(CG)F2+=ABCDEG包含B，故CG→B是冗余的函数依赖，从F2中去掉。

　　C．设CG→D为冗余的函数依赖，则去掉CG→D，得：F3={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F3+：设X(0)=CG

　　计算X(1)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为CG或CG子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

　　计算X(2)：扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1)，算法终止。(CG)F3+=ACG。

　　(CG)F3+=ACG不包含D，故CG→D不是冗余的函数依赖，不能从F3中去掉。

　　D．设CE→A为冗余的函数依赖，则去掉CE→A，得：F4={AB→C,CE→G}

　　计算(CG)F4+：设X(0)=CE

　　计算X(1)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

　　计算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

　　计算X(3)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖，得到一个CG→D函数依赖。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

　　计算X(4)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖，得到一个ACD→B函数依赖。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因为X(4)=U，算法终止。

　　(CE)F4+=ABCDEG包含A，故CE→A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。

　　③ 去掉F4中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）由于C→A，函数依赖ACD→B中的属性A是多余的，去掉A得CD→B。

　　故最小函数依赖集为：F={AB→C,CD→B,CE→G}

【注：书上利用Armstrong公理系统的推理规则求解，虽然过程简单，但是总有不足之处，这个是利用P93的证明来做，与书上描述类似，只不过描述语言更加通俗化了。希望可以对大家有帮助】

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