并查集【数据结构】

前端之家收集整理的这篇文章主要介绍了并查集【数据结构】前端之家小编觉得挺不错的,现在分享给大家,也给大家做个参考。

http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/

1、 概述

并查集(Disjoint set或者Union-find set)是一种树型的数据结构,常用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。

2、 基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构,它主要涉及两个基本操作,分别为:

A. 合并两个不相交集合

B. 判断两个元素是否属于同一个集合

(1) 合并两个不相交集合(Union(x,y))

合并操作很简单:先设置一个数组Father[x],表示x的“父亲”的编号。那么,合并两个不相交集合的方法就是,找到其中一个集合最父亲的父亲(也就是最久远的祖先),将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合,b图为合并后Father(b):=Father(g)

(2) 判断两个元素是否属于同一集合(Find_Set(x))

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、 优化

(1) Find_Set(x)时,路径压缩

寻找祖先时,我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况,我们需对路径进行压缩,即当我们经过”递推”找到祖先节点后,”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示。可见,路径压缩方便了以后的查找。

(2) Union(x,y)时,按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。

4.编程实现
#define MAX 10
int father[MAX];
int rank[MAX];
void Make_Set(int x)
{
	father[x]=x;
	rank[x]=0;
}
//查找x元素所在的集合,回溯的时候压缩路径
int Find_Set(int x)
{
	if(x!=father[x])
	{
		father[x]=Find_Set(father[x]);
	}
	return father[x];
}
//按秩合并x,y所在的集合
void Union(int x,int y)
{
	int t1=x;int t2=y;
	x=Find_Set(x);
	y=Find_Set(y);
	if(x==y)
	{
		//cout<<"x和y属于同一个集合"<<endl;
		printf("%d和%d属于同一个集合,其祖先为%d\n",t1,t2,x);
		return;
	}
	if(rank[x]>rank[y])
		father[y]=x;
	else
	{
		if(rank[x]==rank[y])
		{
			rank[y]++;
		}
		father[x]=y;
	}
}
int main()
{
	for(int i=0;i<10;i++)
		Make_Set(i);
	Union(0,3);
	Union(1,2);
	Union(0,2);
	Union(3,1);
	return 0;
}

原文的代码
int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/
 
int rank[MAX];     /*rank[x]表示x的秩*/
 

 
void Make_Set(int x)
 
{
 
father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
 
rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化
 
}
 
/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
 
int Find_Set(int x)
 
{
 
if (x != father[x])
 
{
 
father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
 
}
 
return father[x];
 
}
 
/*
 
按秩合并x,y所在的集合
 
下面的那个if else结构不是绝对的,具体根据情况变化
 
但是,宗旨是不变的即,按秩合并,实时更新秩。
 
*/
 
void Union(int x,int y)
 
{
 
x = Find_Set(x);
 
y = Find_Set(y);
 
if (x == y) return;
 
if (rank[x] > rank[y])
 
{
 
father[y] = x;
 
}
 
else
 
{
 
if (rank[x] == rank[y])
 
{
 
rank[y]++;
 
}
 
father[x] = y;
 
}
 
}

5、 复杂度分析

空间复杂度为O(N),建立一个集合的时间复杂度为O(1),N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N)),这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数,在很大的范围内(人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子,这小于前面所说的范围)这个函数的值可以看成是不大于4的,所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料(3)。

6、 应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有:求无向图的连通分量个数,最近公共祖先(LCA),带限制的作业排序,实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、 参考资料

(1) 并查集:http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

(2) 博文《并查集详解》:http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

(3) Thomas H. Cormen,Charles E. Leiserson,Ronald L. Rivest,and Clifford Stein. Introduction to Algorithms,Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill,2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets,pp. 498–524.

原文链接:https://www.f2er.com/datastructure/383217.html

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