1. 概述

1.1 性质

堆是一种完全二叉树(complete binary tree)；若其高度为h，则1~h-1层都是满的。下图[1]给出了完全二叉树、非完全二叉树：

从左至右从上至下，从1开始给节点编号。作为完全二叉树，堆满足：

(a)节点i的父节点编号为i/2

(b)节点i的左右孩子节点编号分别为2*i， 2*i+1

为了便于操作，用数组作为堆的存储结构。

堆还满足：每一个父节点的关键值均不小于（不大于）其孩子节点的关键值，这样的堆被称为大顶堆（小顶堆）。

1.2 上浮和下沉

为保持堆的有序性，通常有两种操作：上浮、下沉。注：为了便于叙述，下面所提到的堆均指小顶堆。

上浮：子节点与其父节点进行比较，若子节点的关键值小于父节点的关键值，则进行交换；重复操作，直至不需要交换为止。

下沉：父节点与其子节点进行比较，若父节点的关键值大于子节点的关键值，则进行交换；重复操作，直至不需要交换为止。

1.3 插入

在进行插入操作时，先将元素插入队列尾，然后对插入的元素做上浮操作，保持堆的有序性。例子[2]，

将2插入队列尾，2与父节点6比较，2小于6，需要交换……重复操作，直至不需要交换。

1.4 删除

将堆的根结点删除，将最右的叶子节点作为新的根结点；从根结点开始做下沉操作（为了保持堆的有序性）。动态演示参看[3]。

2. Referrence

[1]daoluan,私房STL之一分钟的heap.

[2]Jiang Guogang,图解数据结构（8）——二叉堆.

[3] Galles, min heap visualization.

[4] the learning point, heap (C source code).

3. 源代码

堆中插入元素、删除最小元素（即堆顶）

/*insert an element into the heap*/
void Insert(int x)
{
	int now;
	hsize++;
	h[hsize]=x;
	for(now=hsize;h[now/2]>x;now/=2)    //上浮
		h[now]=h[now/2];
	h[now]=x;
}

/*delete the minimum element heap[1]*/
void DeleteMin()
{
	int now,lastElement,child;
	lastElement=h[hsize--];
	for(now=1;2*now<=hsize;now=child)   //下沉
	{
		child=2*now;
		if(child<hsize&&h[child]>h[child+1])
			child++;
		if(h[child]<lastElement)
			h[now]=h[child];
		else 
			break;
	}
	h[now]=lastElement;
}