定义

1、一棵二叉树：

• 或者为空；
• 或者包含三部分——一个值、一个左分支和一个右分支，并且这两个分支也都是二叉树。

2、一颗二叉搜索树是满足下面条件的二叉树：

• 所有左分支的值都小于本节点的值；
• 本节点的值小于所有右分支的值。

3、二叉搜索树的定义要求它的值必须能比较大小。为了强调这种区别，特称二叉搜索树的值为键，把节点存储的其他数据信息称为值。

数据组织

二叉搜索树的节点：

function Node(data,left,right) {
    //属性
    this.data = data;
    this.left = left;
    this.right = right;
    //方法
    this.show = show;
}
function show(){
    return this.data;
}

插入

算法描述：
用下述算法向一棵二叉搜索树中插入一个键k,

• 如果树为空，创建一个叶子结点，令该节点的 key = k ；
• 如果 k 小于根节点的 key ，将它插入到左子树中；
• 如果 k 大于根节点的 key ，将它插入到右子树中。

算法描述函数：
insert(T,k)=⎧⎩⎨node(ϕ,k,ϕ),node(insert(Tl,k),k′,Tr),node(Tl,@H_276_301@k′,insert(Tr,k)),T=ϕk<@H_159_404@k′其他 $insert(T,k)= \begin{cases} node(\phi,k,\phi),&\text{$T=\phi$} \\ node(insert(T_l,k),k',T_r),&\text{$k<k'$}\\ node(T_l,insert(T_r,k)),&\text{其他} \end{cases}$
其中，当T不为空时，$T_l,T_r和k'$分别是它的左右子树和key。函数node以给定的左子树、key和右子树为参数创建一个新节点。

实现：

function BST() { //初始化二叉搜索找树
    //属性
    this.root = null;
    //方法
    this.insert = insert;  //插入函数
    this.inOrder = inOrder; //中序遍历函数
}

function insert(data) {
    var n = new Node(data,null,null);
    if (this.root == null) {
        this.root = n;
    } else {
        var current = this.root;
        var parent;
        while (true) {
            parent = current;
            if (data < current.data) {
                current = current.left;
                if (current == null) {
                    parent.left = n;
                    break;
                }
            } else {
                current = current.right;
                if (current == null) {
                    parent.right = n;
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

遍历

1、有三种遍历 BST 的方式： 中序遍历、 前序遍历和后序遍历。
2、中序遍历的算法描述：

• 如果树为空，则返回；
• 否则，先中序遍历左子树，然后访问根节点，最后再中序遍历右子树。

算法描述函数：
如果二叉树非空，令$T_l、T_r和k$分别代表左右子树和key，可以定义下面的抽象map函数：
$map(f,T)= \begin{cases} \phi,&T=\phi \\ node(T_l',h',T_r'),&其他 \\ \end{cases}$
其中，$T_l'=map(f,T_l)\\T_r'=map(f,T_r)\\k'=f(k)$
实现：

//中序遍历
function inOrder(node){
    if(node != null){
        inOrder(node.left);
        console.log(node.show());
        inOrder(node.right);
    }
}

//前序遍历
function perOrder(node){
    if(node != null){
        console.log(node.show());
        perOrder(node.left);
        perOrder(node.right);
    }
}

//后续遍历
function postOrder(node){
    if(node != null){
        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        console.log(node.show());
    }
}

4、通过中序遍历得到一个排序方法：
先把一个无序列表转化为一棵二叉搜索树，然后再用中序遍历把树转换回列表。

var array = [23,45,16,37,3,99,22];
var nums = new BST();
for(var i in array){
    nums.insert(array[i]);
}
console.log("Inorder traversal: ");
inOrder(nums.root); 

// Inorder traversal: 3 16 22 23 37 45 99

搜索

BST 通常有下列三种类型的查找：

• 查找给定元素（lookup）
• 查找最大或最小元素
• 查找给定元素的上一个（predecessor）或下一个元素（successor）

lookup

算法描述：
我们可以按照下面描述的方法在树中查找一个key：

• 如果树为空，查找失败
• 如果根节点的key等于待查找的值，查找成功，返回根节点作为结果；
• 如果待查找的值小于根节点的key，继续在左子树中递归查找；
• 如果待查找的值大于根节点的key，继续在右子树中递归查找。

算法描述函数：
lookup(T,x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪@H_51_1301@ϕ,T,lookup(Tl,x),lookup(Tr,x),T=ϕk=xx<k其他@H_850_1502@ $lookup(T,x)= \begin{cases} \phi,&T=\phi \\ T,&k=x\\ lookup(T_l,x),&x<k \\ lookup(T_r,&其他\\ \end{cases}$

算法时间复杂度：
如果二叉树很平衡，绝大多数节点都有非空的左右分支，对于n个元素的二叉树，搜素算法的性能为$O(lgn)$。如果二叉树很不平衡，最坏情况下，查找的时间会退化到$O(n)$。若记树的高度为$h$，则算法的性能可以统一成 @H_301_1617@O(h) $O(h)$的形式。

实现：

/* * findup：在BST中查找一个元素 * 如果找到给定值， 该方法返回保存该值的节点； 如果没找到， 该方法返回 null。 */
 function findup(data){ //递归实现
    var current = this.root;
     while(current!=null){
         console.log(current)
         if(current.data == data){
             return current;
         } else if(data<current.data){
             current = current.left;
         } else if(data > current.data){
             current = current.right;
         }
     }
     return null;
 }

function findup(data){ //迭代实现
     var current = this.root;
     while(current!=null && current.data!=data){
         if(data < current.data ){
             current = current.left;
         } else {
             current = current.right;
         }
     }
     return current;
 }

最小元素和最大元素

算法描述：
在BST中，较小的元素总是位于左侧分支，而较大的元素总是位于右侧分支。为了获取较小元素，可以不断向左侧前进，知道左侧分支为空。同样的，可以通过向右侧前进来获取最大元素。
算法描述函数：
min(T)={@H_502_1801@k,min(Tl),Tl=ϕ其他 $min(T)= \begin{cases} k,&T_l=\phi\\ min(T_l),&其他\\ \end{cases}$
$max(T)= \begin{cases} k,&T_r=\phi\\ max(T_r),&其他\\ \end{cases}$
算法时间复杂度：
两个函数的性能都是$O(h)$，其中$h$是树的高度。当二叉树比较平衡时，$min和max$的性能都是$O(lgn)$，最坏情况下，性能退化为$O(n)$。
实现：

/* * getMin()：取得BST最小值 */
function getMin() {
    var current = this.root;
    while (current.left != null) {
        current = current.left;
    }
    return current.data;
}

/* - getMax()：取得BST最小值 */
 function getMax() {
    var current = this.root;
    while (current.right!= null) {
        current = current.right;
    }
    return current.data;
 }

前驱和后继

后继(Succ)：给定元素$x$，它的后继元素$y$是满足$y>x$的最小值。
有两种情况：

• 如果 x @H_154_2404@x所在的节点有一个非空的右子树，则右子树中的最小值就是答案。
• 如果$x$没有非空的右子树，则需要向上回溯，找到最近的一个祖先，使得该祖先的左侧孩子，也为$x$的祖先。

实现：

/* * Succ:后继函数 * param: x——给定元素 * return：返回给顶元素在BST中的后继 */
function Succ(x){
  if(x.right!=null){
        //getMin(node) 获取以node节点为根节点的BST的最小值
        return this.getMin(x.right);
    } else{
        //Node节点有一个parent属性来保存父节点
        var parent = x.parent;
        while(parent!=null&&x ==parent.right){
            x = parent;
            parent = parent.parent;
        }
        return parent;
    }
}
/* * Pred:前驱函数 * param: x——给定元素 * return：返回给顶元素在BST中的前驱 */
function Pred(x){
    if(x.left!=null){
        //getMax(node) 获取以node节点为根节点的BST的最大值
        return this.getMax(x.left);
    } else{
        var parent = x.parent;
        while(parent!=null&&x ==parent.left){
            x = parent;
            parent = parent.parent;
        }
        return parent;
    }
}

删除

算法描述：
从二叉搜索树中删除节点$x$的方法如下：

• 如果$x$没有子节点，或者只有一个孩子，直接将$x$“切下”；
• 如果$x$有两个孩子，我们用其右子树中的最小值替换$x$，然后将右子树中的这一最小值“切掉”。

因为右子树中的最小值节点不可能有两个非空的孩子，因此将上面第二种情况简化为第一种情况，因而可以直接将最小值节点“切掉”。

算法描述函数：
delete(T,x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ϕnode(delete(Tl,x),k,Tr)node(Tl,k,delete(Tr,x))Tr@H_477_3012@Tlnode(Tl,y,delete(TR,y)):T=ϕ:x<k:x>k:x=k∧Tl=ϕ:x=k∧Tr=ϕ:x=k∧Tl,Tr都不为空 $delete(T,x)= \begin{cases} \phi&:T=\phi \\ node(delete(T_l,T_r)&:x<k \\ node(T_l,delete(T_r,x))&:x>k \\ T_r&:x=k \land T_l=\phi \\ T_l&:x=k \land T_r=\phi \\ node(Tl,y,delete(T_R,y))&:x=k \land T_l,T_r都不为空 \end{cases}$
其中，$T_l，T_r，k$分别是当$T$非空时的左右子树和key：
$T_l=left(T)\\T_r=right(T)\\k=key(T)\\y=min(T_r)$

实现：

/* * removeData：删除数据 * param: * node——要删除数据的节点 * data——要删除的数据 * return： * 已删除data数据的树根节点 */
function removeData(node,data){
  if(node == null){ //空树
        return null;
    }
    if (data == node.data) {
        if (node.left == null && node.right == null) { //没有子节点的节点
            return null;
        }
        if (node.left == null) { //没有左子树的节点
            return node.right;
        }
        if (node.right == null) { //没有右子树的节点
            return node.left;
        }
        //有左右子树的节点
        var tempNode = getMin(node.right);
        node.data = tempNode.data;
        node.right = removeData(node.right,tempNode.data);
        return node;
    }else if(data < node.data){
        node.left = removeData(node.left,data);
        return node;
    }else{
        node.right = removeData(node.right,data);
        return node;
    }

}
/* * remove() 方法：简单地接受待删除数据 */
function remove(data){
   this.root = removeData(this.root,data);
}

//test
var nums = new BST();
var arr = [4,8,1,2,10,9,14]; for(var i in arr){ nums.insert(arr[i]); } nums.remove(4); console.log(nums.root);