平衡因子 $\delta(T)$

为了度量一颗二叉树的平衡，可以比较左右分支的高度差，如果差很大，则说明树不平衡。
定义一棵树的高度差如下：

$$\delta(T)=|R|-|L|$$
其中， @H_404_114@|T| $|T|$ 代表树 T 的高度，L 和 R 分别代表左右分支。
若 $\delta(T)=0$ ，说明树是平衡的。通常 $\delta(T)$ 的绝对值越小，说明树越平衡。

AVL树的定义

如果一棵二叉搜索树的所有子树都满足如下条件，称之为AVL树。

$$\delta(T) \le 1$$
AVL树中所有 子树平衡因子的绝对值都不大于1，只可能是-1、0、1这三个值。

插入

向AVL树中插入一个新key，根节点的平衡因子的变化区间为[-1,1]，树的高度最多增加1。
算法描述：
定义插入算法的结果为一对值$(T',\Delta H)$，其中$T'$为插入后的新树，$\Delta H$为树高度的增加值。令函数 first(@H_239_403@pari) $first(pari)$ 取得一对值中的第一个元素，在二叉搜索树的插入算法上进行改动，定义AVL树的插入操作：